PATRONEN · REKENKRACHT · GEHEIMEN
De bouwstenen
van oneindig.
2, 3, 5, 7, 11… Eén eenvoudige regel. Een onuitputtelijke wereld.
Ontdek wat je ziet en wat je computer kan als je meer priemgetallen kent.
Alleen deelbaar door 1 en zichzelf.
Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 met precies twee positieve delers. Elk geheel getal groter dan 1 is een priemgetal of een product van priemgetallen. Het getal 1 is geen priemgetal.
Dat zijn verschillende doelen. Het grootste gevonden priemgetal is niet het laatste: er zijn oneindig veel priemgetallen.
Een sterrenhemel die echt uit getallen bestaat.
Elk lichtpunt is een werkelijk berekend priemgetal. Voeg meer getallen toe en ontdek diagonalen, tussenruimtes en regelmaat binnen onregelmatigheid.
Ulam: 1 in het midden, dan 2 rechts en verder tegen de klok in. Elk geheel getal houdt zijn plek; alleen priemgetallen lichten op. Diagonalen zijn geen recept dat uitsluitend priemgetallen oplevert. Een priemtweeling is een paar priemgetallen met verschil 2; alleen paren volledig binnen het bereik worden gemarkeerd. Lichtpulsatie is decoratief.
Het ritme tussen de laatste 80 priemgetallen.
Elke staaf is het verschil met het vorige priemgetal. De hoogte is de exacte tussenruimte, geen voorspelling van het volgende priemgetal.
Laat de samenstellingen verdwijnen.
De zeef van Eratosthenes werkt met alle veelvouden tegelijk. Eerst 2, dan 3, dan 5… Wat na voldoende stappen overblijft, is priem.
Meer weten. Minder onnodig delen.
Om te bewijzen dat n priem is, hoef je bij proefdeling alleen priemdelers tot en met √n te controleren. Een bekende lijst helpt — mits hij ver genoeg reikt.
De aantallen vergelijken drie manieren van proefdeling, telkens tot de eerste factor of tot bewijs van primaliteit. De eerste twee aantallen worden afgeleid, niet met miljarden lussen uitgevoerd. De derde methode wordt echt uitgevoerd. Balken zijn logaritmisch; bij 0 delingen blijft de balk leeg. Opbouw van de basispriemen kost zelf tijd en geheugen en is niet in de aantallen opgenomen.
—
Een tabel is geen oneindige snelweg.
Voor veel grotere getallen is proefdeling niet praktisch. Moderne primaliteitstests kunnen werken zonder een lijst van alle kleinere priemgetallen. Meer basispriemen, grotere priemgetallen en betere algoritmen zijn verschillende verbeteringen.
Makkelijk samenvoegen. Moeilijk terugvinden?
In deze miniatuurversie van RSA vormen twee verschillende oneven priemgetallen samen een product. Met de juiste exponenten kun je een getal versleutelen en terughalen. Hier zijn de priemen bewust klein en zichtbaar.
Een lange lijst priemen alleen maakt geen veilige sleutel. De grootte, keuze en geheimhouding van de factoren en de volledige cryptografische constructie tellen mee.
Dit is onveilige textbook-RSA zonder padding, alleen voor uitleg. Niet ieder versleuteld getal hoeft van het origineel te verschillen. Echte RSA gebruikt grote, zorgvuldig gegenereerde priemen en voorgeschreven encoding/padding; een nieuw recordpriemgetal of een openbare lijst is geen vereiste voor een veilige sleutel. De bits hieronder zijn echte binaire weergaven, geen maat voor veiligheid. Factoriseren via proefdeling is niet de beste algemene aanval.
Patronen worden zichtbaar.
Berekeningen worden mogelijk.
Meer bekende priemen laten grotere datasets zien en kunnen herhaalde factorcontroles versnellen.
Grotere geschikte priemen maken grotere getalconstructies mogelijk, zoals de bouwstenen van bepaalde cryptosystemen.
Betere algoritmen bepalen hoe ver je praktisch komt. Een patroon zien is nog geen bewijs; veel getallen kennen is nog geen garantie voor veiligheid.
Wiskunde, grenzen en bronnen
De pagina berekent bij laden alle priemgetallen tot 1.000.000 met een zeef. De sterrenbeelden tonen maximaal de gehele getallen tot 40.000. De getallentester gebruikt gehele BigInt-rekenkunde en is begrensd op 10¹²; tot die grens volstaan basispriemen tot 1.000.000. Geen netwerk nodig voor de berekeningen. 1 is niet priem. De visualisaties gebruiken schermprecisie voor posities; de classificatie komt uit de zeef of exacte delingen.
De Ulamspiraal legt gehele getallen op een vierkant rooster. De diagonalen hangen samen met getalreeksen in die ordening; ze voorspellen niet alle priemgetallen. De balkjes van priemafstanden tonen alleen waargenomen verschillen binnen de berekende dataset.
Bronnen en verdere uitleg: Wolfram MathWorld · priemspiraal, RFC 8017 · RSA, NIST · factorisatiecryptografie.